Легко показать, что все типы связей, обычно рассматриваемые в задачах механики – гладкая поверхность, идеальная нить, шарниры, подпятник, глухая заделка ‑ являются идеальными. Неидеальность связей часто обусловлена наличием трения скольжения или качения. В этом случае часть реакции связи, для которой нарушается идеальность, переводится формально в разряд активных сил и задается в условии или определяется в задаче. В дальнейшем мы будем рассматривать именно такие механические системы, то есть системы с идеальными связями или со связями, которые описанным приемом могут быть переведены в разряд идеальных. Для таких систем имеет смысл сформулировать положение, которое также имеет форму аксиомы, объединяющее II закон Ньютона, принцип независимости действия сил (точнее правило параллелограмма), принцип освобождаемости от связей и принцип идеальности связей. Это положение называется в литературе по механике по-разному – принцип д’Аламбера-Лагранжа, общее вариационное уравнение механики, общее уравнение динамики и др. Применение этого принципа для вывода других положений и теорем теоретической механики дает существенный выигрыш, и будет использоваться нами постоянно.
Каждая точка механической системы может взаимодействовать с другими точками и телами данной механической системы, с точками и телами, не принадлежащими ей, а также с внутренними и внешними связями. Объединим все силы реакций указанных связей, действующих на i -ю точку МС, в одну силу , согласно правилу параллелограмма складывая их попарно. То же самое сделаем с активными силами, получим силу . С помощью 2-го закона Ньютона запишем уравнения движения точек системы
, i=1,2,…,N
. (5.1)
Чтобы применить условие идеальности связей, надо разрешить эти уравнения относительно реакций связей и подставить полученные выражения в (4.8). Это дает
.
Для более удобной формулировки этого принципа поменяем местами слагаемые в круглых скобках. Величину
имеющую размерность силы, в механике принято называть Д’Аламберова сила инерции точки или просто сила инерции точки . Тогда
в каждый момент времени при движении механической системы с идеальными удерживающими связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции равна нулю
или 
(5.2)
Обобщенные силы . Пусть имеется явно или неявно заданное выражение радиус-векторов точек системы через обобщенные координаты и время t
, i
=1,2,…,N
. (5.3)
Применим операцию изохронного варьирования к выражению (7.1), заключающуюся в том, что надо взять дифференциал от функции нескольких переменных , полагая время фиксированным. Получим
Подставим это выражение в формулу виртуальной работы i -ой активной силы и просуммируем эти работы по всем точкам системы. Получим
.
Перегруппируем слагаемые в этом выражении и изменим порядок суммирования, получим
Здесь 
, k=1,2,…,s
(5.6)
и есть обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате с номером k . Таким образом, обобщенную силу можно определить как
коэффициент, стоящий перед вариацией обобщенной координаты в выражении виртуальной работы системы.
Из выражений (5.5) и (5.6) можно получить два способа вычисления обобщенных сил. Один - прямо по определению, второй – по формуле (5.6), если заданы проекции сил и аналитические зависимости координат их точек приложения от обобщенных (5.4). В дальнейшем мы рассмотрим подробнее способы вычисления обобщенных сил. Для ближайших целей нам достаточно выражения (5.6) и данного определения. Подчеркнем, что обобщенная сила, в отличие от обычной, является скалярной величиной и называется так только потому, что выражение (5.3) по форме напоминает выражение виртуальной работы силы
Из правой части этой формулы видно, что имело бы смысл говорить об обобщенных силах как проекциях сил системы на обобщенные координаты.
Совершенно аналогично, можно записать выражение для обобщенной силы инерции, подставив в (7.4) вместо активной силы силу инерции
, k=1,2,…,s.
(5.7)
Общее уравнение механики в обобщенных координатах . На основании (5.5) запишем выражение виртуальных работ активных сил и сил инерции механической системы и приравняем его нулю согласно (5.2)
откуда, благодаря независимости вариаций обобщенных координат 
друг от друга, что имеет место для голономных систем
, следует s
уравнений
или в другой форме, напоминающей II закон Ньютона (3.10)
Эти уравнения и являются уравнениями, описывающими динамическое поведение механической системы с голономными связями. Их можно применять непосредственно для вывода уравнений движения. Основная трудность здесь состоит в получении выражений приведенных сил инерции, которые можно определить по формулам (5.7). В дальнейшем будет показано, как можно построить алгоритмы компьютерной алгебры для автоматизации построения уравнений движения достаточно широкого класса механических систем на базе уравнений (5.6)-(5.8). Однако для «ручного» вывода уравнений движения более предпочтительным оказывается применение уравнений Лагранжа II рода, которые получаются из (5.8) выражением обобщенных сил инерции (5.7) через кинетическую энергию системы.
Лекция 6. Уравнения Лагранжа II рода .
Найдем слагаемое с номером i в правой части (5.7), используя выражения (5.3).
.
Здесь использованы два тождества Лагранжа
, .
После суммирования получим обобщенную силу инерции
.
Здесь величина 
, где -скорость i
-ой точки, есть, очевидно, кинетическая энергия механической системы.
Окончательно получим
, k=1,2,...,s,
(6.1)
где s - число степеней свободы, - кинетическая энергия, , , - обобщенная координата, обобщенная скорость и обобщенная активная сила с порядковым номером данной механической системы.
Составление уравнений движения в форме (6.1) сводится к выполнению ряда формальных действий
· выбрать обобщенные координаты - параметры любой геометрической или физической природы, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени;
· записать выражение кинетической энергии системы в виде суммы кинетических энергий точек и тел системы через инерционные параметры (массы точек и тел, моменты инерции тел) и обобщенные координаты и скорости;
· получить выражения производных кинетической энергии, входящие в левую часть (6.1);
· записать выражение виртуальных работ сил системы при варьировании каждой обобщенной координаты, коэффициенты перед вариацией соответствующей обобщенной координаты дают формулу для обобщенной силы, соответствующей этой обобщенной координате.
Для применения полученных уравнений Лагранжа II рода на практике необходимо получить рабочие формулы вычисления виртуальных работ и кинетической энергии системы, что в свою очередь, требует разобраться с инерционными характеристиками механических систем и тел.
Вычисление обобщенных сил. Существует три способа вычисления обобщенных сил.
Первый способ
предполагает прямое вычисление коэффициентов при вариациях обобщенных координат в выражении виртуальной работы. Удобнее здесь варьировать не все сразу обобщенные координаты, а по одной. Записывается выражение работы на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариации только одной обобщенной координаты, например, с номером k
- , как алгебраическую сумму виртуальных работ активных сил, приложенных к телам и точкам механической системы 
. Затем, вынося за скобки общий сомножитель - вариацию обобщенной координаты , получим выражение для обобщенной силы
Для системы с несколькими степенями свободы такую операцию следует проделать столько раз, сколько обобщенных координат.
Второй способ основан на зависимостях типа (5.3), заданных в явном виде. Тогда обобщенные силы определятся выражением (5.6)
, k=1,2,…,s.
Третий способ опирается на знание потенциальной энергии системы как функции координат ее точек . Подставляя в нее выражения (5.3), получим зависимость потенциальной энергии от обобщенных координат , а виртуальная работа будет
Сравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, найдем
Понятно, что лучше сразу по возможности построить функцию потенциальной энергии системы от обобщенных координат .
Пример составления уравнений Лагранжа II рода.
Найти ускорение бруса, перемещающегося по каткам на наклонной плоскости, составляющей угол a=
30 0 с горизонтальной плоскостью (рис. 6.1). Масса бруса кг
, массы цилиндрических катков одинаковы и составляют 
кг
. Коэффициент трения качения каждого катка составляет м
, а радиус см.
Решение. Механическая система, состоящая из бруса и двух катков, имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение бруса вдоль наклонной плоскости . Тогда ее вариацию (виртуальное перемещение бруса вдоль наклонной плоскости вниз) обозначим .
Найдем кинетическую энергию системы, учитывая, что кинетические энергии катков одинаковы.
Здесь - кинетическая энергия поступательно движущегося бруса:
.
Кинетическая энергия катков, которую найдем по формуле для плоскопараллельного движения твердого тела
,
где - скорость центров масс катков, - угловая скорость качения катков, - момент инерции катка относительно собственного центра, где - радиус катка. .
Откуда найдем обобщенную силу, как коэффициент перед вариацией обобщенной координаты
. (6.3)
Подставим (8.2) и (8.3) в уравнения (5.1), получим
м/с
2 . (6.4)
Таким образом брус будет двигаться вниз равноускоренно с ускорением 4,95 м/с 2 .
Замечания. Обычно вызывает определенную трудность трактовка знака результата, который получается при изменении направления виртуального перемещения , показанного на рис. 6.1 пунктирной стрелкой. Часто заранее неизвестно направление движения системы. В этом случае варьировать можно «наугад», так как виртуальное перемещение не обязано привязываться к действительному движению, поэтому мы вправе направить его куда угодно. Допустим, что в предыдущей задаче мы дадим виртуальное перемещение по пунктирной стрелке. В этом случае левая часть уравнений (6.2) не меняется, а при вычислении правой части, в (6.3) появится знак «-» в работах сил тяжести и знак «+» в работе трения качения. В итоге знак «-» перейдет и в формулу результата ‑ ускорения бруса (6.4). Это, конечно, не будет свидетельствовать о том, что брус двигается замедленно. На самом деле, при вычислении обобщенной силы через виртуальную работу, мы фактически записываем проекции сил системы на направление виртуального перемещения. Поэтому и результат, даваемый формулой (6.4), надо трактовать, как проекцию вектора обобщенного ускорения бруса на это направление. Таким образом, сделаем вывод, что брус будет двигаться вниз с постоянным ускорением 4,95 м/с 2 .
При наличии сил трения их надо направлять в соответствии с направлением действительного движения. Варьирование координат не всегда можно связать с действительным движением. В этом случае, могут появиться выражения для виртуальных работ сил трения со знаком «+», как в рассмотренном примере при виртуальном перемещении бруса по пунктирной стрелке. С формальной точки зрения это не должно смущать, так как это виртуальные , а не действительные работы. Другое дело, что, часто, не решив до конца задачу, мы не знаем направления действительных перемещений точек, а, значит, направлений сил трения. В этом случае может понадобиться решить несколько задач, делая различные предположения о направлении этих сил. И остановиться надо на логически оправданном решении. Иногда удается учесть аналитически знаки проекций сил трения, связав их с алгебраическими значениями скоростей соответствующих тел и точек.
Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :
где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.
Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие
В этом случае (229) принимает одну из форм:
,
,
. (230)
Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .
Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде
где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями
,
общему уравнению динамики можно придать форму
В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .
При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.
При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.
Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей 
. Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим
где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.
Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем
,
если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .
При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.
Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .
Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики .
Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.
Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.
Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:
Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная
Общее уравнение динамики
- при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.
Последовательность составления:
а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;
б) сообщают системе возможные перемещения;
в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.
Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.
Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций , ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:
Возможная работа силы: 
.
Возможная работа момента (пары сил): 
.
Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q 1 , q 2 , …, q S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.
Число обобщенных координат равно S - числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:
Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:
;
;
……..………. ;
(25)
………..……. ;
,
здесь - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :
(26)
а - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :
Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.
Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .
Вычисление производится по такому правилу.
Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :
(7)
где - перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k -той обобщенной координаты.
Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:
И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда
где координаты точек - функции обобщенных координат (5).
Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где 
, а координаты точек - функции обобщенных координат, то
Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.
Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат
П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).
Замечания.
Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.
Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.
Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:
(28)
Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:
(29)
В числителе правой части формулы - сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты - . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.
Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач динамики.
Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы кроме действующих на них активных сил и реакций связей прибавить соответствующие силы инерции то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Тогда, применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим
Но последняя сумма по условию (98) равна нулю и окончательно будет:
Из полученного результата вытекает следующий принцип Даламбера - Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.
Уравнение (102), выражающее этот принцип, называют общим уравнением динамики. В аналитической форме уравнение (102) имеет вид
Уравнения (102) или (103) позволяют составить дифференциальные уравнения движения механической системы.
Если при этом система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным еилам прибавить приложенную в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра (или одну из этих величин, см. § 134), а затем применить принцип возможных перемещений.
Задача 173. В центробежном регуляторе, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 362), вес каждого из шаров и равен вес муфты равен Q. Пренебрегая весом стержней, определить угол а, если
Решение. Присоединяем к активным силам центробежные силы инерции (сила инерцни муфты, очевидно, будет равна нулю) и составляем общее уравнение динамики в виде (103). Тогда, вычисляя проекции всех сил на координатные оси, получим
Координаты точек приложения сил равны:
Дифференцируя эти выражения, находим:
Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получаем
Отсюда окончательно
Так как то шары будут отклоняться, когда . С увеличением угол а растет, стремясь к 90° при
Задача 174. В подъемнике, изображенном на рис. 363, к шестерне имеющей вес и радиус инерции относительно ее оси приложен вращающий мемент М. Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен , а радиус инерции относительно оси вращения Радиусы шестерен равны соответственно а радиус барабана .
Решение. Изображаем действующую на систему активную силу Q и вращающий момент М (силы работы не совершают); присоединяем к ним силу инерции груза и пары с моментами и к которым приводятся силы инерции вращающихся тел (см. § 134).
Общее уравнение динамики имеет вид:
где
-активные
силы, приложенные к системе;
-масса
k
-ой
точки;
-ускорение
k
-ой точки;
Виртуальное перемещение k -ой точки.
Уравнение (3.10) показывает, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.
Важным свойством общего уравнения динамики является то, что оно не содержит реакций идеальных связей. Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.
Вычисление суммы работ сил инерции на виртуальных перемещениях твердого тела проводится по следующим формулам.
1. При поступательном движении тела:
где
-главный
вектор сил инерции тела (M
- масса
тела,
-
ускорение центра масс),
-
виртуальное перемещение центра масс
тела.
2. При вращении тела вокруг неподвижной оси:
где
-главный
момент сил инерции тела относительно
оси вращения (
-
момент инерции тела относительно оси
вращения,
- угловое ускорение тела),
-
виртуальное угловое перемещение тела.
3. При плоско - параллельном движении:
где
-
главный момент сил инерции тела
относительно оси, проходящей через
центр массС
тела.
Частным случаем общего уравнения динамики является принцип виртуальных перемещений (общее уравнение статики). Действительно, в том случае, когда механическая система находится в покое, все силы инерции равны нулю, и из общего уравнения динамики вытекает принцип виртуальных перемещений: для того чтобы механическая система, на которую наложены идеальные связи находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к рассматриваемой системе, на любом из ее виртуальных перемещений была равна нулю
(3.11)
Рассмотрим процедуру использования уравнения (3.10) для составления дифференциальных уравнений движения систем с двумя степенями свободы:
1. Изобразить механическую систему в произвольный момент времени.
2. Показать на рисунке активные силы и моменты, а также силы и моменты, соответствующие неидеальным связям (например, силы трения).
3. Определить главные векторы и главные моменты сил инерции.
4. Выбрать обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы системы.
5. Дать виртуальное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы системы, считая при этом виртуальные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю.
6. Вычислить сумму элементарных работ всех сил и моментов (см. п. 2 и 3) на соответствующих виртуальных перемещениях и приравнять эту сумму нулю.
7. Повторить п. 4 - 6 для каждого независимого движения системы.
При применении общего уравнения динамики к системам с двумя и большим числом степеней свободы, в связи с громоздкостью выкладок, можно использовать следующие рекомендации:
1. Сделать предположение о направлении ускорений точек системы.
2. Направить на рисунке силы инерции в стороны, противоположные выбранным направлениям соответствующих ускорений.
3. Определить знаки элементарных работ сил инерции в соответствии с их направлениями на рисунке и избранными направлениями виртуальных перемещений точек системы.
4. Если искомые ускорения оказываются положительными, то сделанные предположения о направлениях ускорений подтверждаются, если отрицательными, то соответствующие ускорения направлены в другую сторону.
