Домой Головная боль Неопознанная и позиционная система счисления. Многообразие систем счислений

Головная боль

Неопознанная и позиционная система счисления. Многообразие систем счислений

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные системы счисления. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I	V	X	L	C	D	M

В числе цифры записываются слева направо в порядке убывания. Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей цифры, то она вычитается, если справа ― прибавляется. Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 ― 1 = 9, СССXXVII=100+100+100+10+10+5+1+1=327.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией .

Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе ― шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим ― десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной системы счисления, так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555 7 ― число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы ― это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p , как

x=a n *p n +a n ―1*p n―1 + a 1 *p 1 +a 0 *p 0 ,

где a n ...a 0 ― цифры в представлении данного числа.

Так, например, 1035 10 =1*10 3 +0*10 2 +3*10 1 +5*10 0 ;

1010 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы, как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств приходится обращаться к другим системам счисления, например, к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной системы счисления. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая система счисления. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Методику представления информации в двоичной форме можно пояснить, проведя следующую игру. Нужно у собеседника получить интересующую нас информацию, задавая любые вопросы, но получая в ответ только одно из двух ДА либо НЕТ. Известным способом получения во время этого диалога двоичной формы информации является перечисление всех возможных событий. Рассмотрим простейший случай получения информации. Вы задаете только один вопрос: "Идет ли дождь?". При этом условимся, что с одинаковой вероятностью ожидаете ответ: "ДА" или "НЕТ". Легко увидеть, что любой из этих ответов несет самую малую порцию информации. Эта порция определяет единицу измерения информации, называемую битом. Благодаря введению понятия единицы информации появилась возможность определения размера любой информации числом битов. Образно говоря, если, например, объем грунта определяют в кубометрах, то объем информации ― в битах. Условимся каждый положительный ответ представлять цифрой 1, а отрицательный ― цифрой 0. Тогда запись всех ответов образует многозначную последовательность цифр, состоящую из нулей и единиц, например 0100.

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток ― нет тока, намагничен ― ненамагничен);
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе счисления перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры ― выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

Следует отметить, что большинство калькуляторов, реализованных на компьютере, позволяют осуществлять работу в системах счисления с основаниями 2, 8, 16 и, конечно, 10.

При наладке аппаратных средств компьютера или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит ― 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь различных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы ― 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления. В различных языках программирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает число 9.

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления применяется десять различных цифр и шесть первых букв латинского алфавита. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус. Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 ― это разные числа. В других случаях можно указать основание системы счисления нижним индексом.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления.

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).

Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Другие же числа записываются, например, как:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.

В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).

Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.

Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.

Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «...укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.

Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Позиционные и непозиционные системы счисления.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.

Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Позиционные системы счисления.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555 7 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p , как x = a n ·p n +a n – 1·p n –1 + a 1·p 1 + a 0·p 0, где a n ...a 0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035 10 =1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;

1010 2 = 1·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1 + 0·2 0 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.

Пусть нужно перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В данном случае это 9, т.к. 2 9 = 512, а 2 10 = 1024, что больше начального числа. Таким образом получается число разрядов результата, оно равно 9 + 1 = 10, поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх , где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Вторая цифра результата находится так – двойка возводится в степень 9 и вычитается из исходного числа: 567 – 2 9 = 55. Остаток сравнивается с числом 2 8 = 256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд – нуль, т.е. результат имеет вид 10хххххххх . Рассмотрим восьмой разряд. Так как 2 7 = 128 > 55, то и он будет нулевым.

Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх . 2 5 = 32 ххххх). Для остатка 55 – 32 = 23 справедливо неравенство 2 4 = 16

567 = 1·2 9 + 0·2 8 + 0·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0

При другом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Если взять то же число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1. Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.

Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.

Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Например, при переводе числа 567 в систему счисления с основанием 16 число сначала разлагается по степеням основания. Искомое число состоит из трех цифр, т.к. 16 2 = 256 хх, где вместо х могут стоять любые шестнадцатеричные цифры. Остается распределить по следующим разрядам число 55 (567 – 512). 3·16 = 48

Второй способ состоит в последовательном делении в столбик, с единственным отличием в том, что делить надо не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.

Конечно, для записи числа в шестнадцатеричной системе счисления, необходимо заменить 10 на A, 11 на B и так далее.

Операция перевода в десятичную систему выглядит гораздо проще, так как любое десятичное число можно представить в виде x = a 0·p n + a 1·p n –1 +... + a n –1·p 1 + a n ·p 0, где a 0 ... a n – это цифры данного числа в системе счисления с основанием p .

Например,так можно перевести число 4A3F в десятичную систему. По определению, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. При замене A на 10, а F на 15, получается 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007.

Проще всего переводить числа из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2 n , нужно данное двоичное число разбить справа налево на группы по n -цифр в каждой; если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу, как n -разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2 n .

Таблица 1. Двоично-шестнадцатеричная таблица

Таблица 1. ДВОИЧНО-ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА
2-ная	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
16-ная	0	1	2	3	4	5	6	7
2-ная	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
16-ная	8	9	A	B	C	D	E	F

Известный французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749–1827) писал об историческом развитии систем счисления, что «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой.»

Сравнение десятичной системы исчисления с иными позиционными системами позволило математикам и инженерам-конструкторам раскрыть удивительные возможности современных недесятичных систем счисления, обеспечившие развитие компьютерной техники.

Анна Чугайнова

Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления

Система счисления - это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков - цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления - это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй - I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных - нет. Например:

11 - здесь первая единица обозначает десять, а вторая - 1. II - здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 - здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором - 50, а в третьем - 500.

XXV, XVI, VII - здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления - это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка - третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления.

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков .
Система счисления:

· даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);
· даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);
· отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы. В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе - шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим - десятки. Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр. Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 - число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы - это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = a n ·p n +a n - 1 ·p n-1 + a 1 ·p 1 + a 0 ·p 0 , где a n ...a 0 - цифры в представлении данного числа. Так, например, 1035 10 =1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;

1010 2 = 1·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1 + 0·2 0 = 10. Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно достаточно для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32. Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме. Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто. Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету. Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления. Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи, Мille — тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы). Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11. Десятичное число 99 имеет следующее представление: XCIХ = -10+100-1+10. Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

Алфавитные системы счисления

Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например a = 1, b = 2, g = 3 и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв (i = 10, k = 20, l = 30, m = 40 и т.д.), а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 — последние 9 букв (r = 100, s = 200, t = 300 и т.д.). Например, число 141 обозначалось rma. В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах. Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Системы счисления - что это? Даже не зная ответа на этот вопрос, каждый из нас поневоле в своей жизни пользуется системами счисления и не подозревает об этом. Именно так, во множественном числе! То есть не одной, а несколькими. Прежде чем привести примеры непозиционных систем счисления, давайте разберемся в этом вопросе, поговорим и о позиционных системах тоже.

Потребность в счете

С древности люди имели потребность в счете, то есть интуитивно осознавали, что нужно каким-то образом выразить количественное видение вещей и событий. Мозг подсказывал, что необходимо использовать предметы для счета. Наиболее удобными всегда были пальцы на руках, и это понятно, ведь они всегда в наличии (за редкими исключениями).

Вот и приходилось древним представителям рода человеческого загибать пальцы в прямом смысле - обозначать количество убитых мамонтов, например. Названий у таких элементов счета еще не было, а лишь визуальная картинка, сопоставление.

Современные позиционные системы счисления

Система счисления - это метод (способ) преставления количественных значений и величин посредством определенных знаков (символов или букв).

Необходимо понимать, что такое позиционность и непозиционность в счете, прежде чем приводить примеры непозиционных систем счисления. Позиционных систем счисления множество. Сейчас используют в различных областях знаний следующие: двоичную (включает только два значимых элемента: 0 и 1), шестеричную (количество знаков - 6), восьмеричную (знаков - 8), двенадцатеричную (двенадцать знаков), шестнадцатеричную (включает шестнадцать знаков). Причем каждый ряд знаков в системах начинается с нуля. основаны на использовании двоичных кодов - двоичной позиционной системы счисления.

Десятичная система счисления

Позиционностью считается наличие в различной степени значимых позиций, на которых располагаются знаки числа. Лучше всего это можно продемонстрировать на примере десятичной системы счисления. Ведь именно ею мы привыкли пользоваться с самого детства. Знаков в этой системе десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Возьмем число 327. В нем имеются три знака: 3, 2, 7. Каждый из них расположен на своей позиции (месте). Семерка занимает позицию, отведенную под единичные значения (единицы), двойка - десятки, а тройка - сотни. Так как число трехзначное, следовательно, позиций в нем всего три.

Исходя из вышесказанного, такое трехзначное десятичное число можно описать следующим образом: три сотни, два десятка и семь единиц. Причем значимость (важность) позиций отсчитывается слева направо, от слабой позиции (единицы) к более сильной (сотни).

Нам очень удобно себя чувствовать в десятичной позиционной системе счисления. У нас на руках десять пальцев, на ногах - также. Пять плюс пять - так, благодаря пальцам, мы с детства легко представляем себе десяток. Вот почему бывает легко детям учить таблицу умножения на пять и на десять. А еще так просто научиться считать денежные банкноты, которые чаще всего кратны (то есть делятся без остатка) на пять и на десять.

Другие позиционные системы счисления

К удивлению многих, следует сказать, что не только в десятичной системе счета наш мозг привык делать некие расчеты. До сих пор человечество пользуется шестеричной и двенадцатеричной системами счисления. То есть в такой системе существует только шесть знаков (в шестеричной): 0, 1, 2, 3, 4, 5. В двенадцатеричной их двенадцать: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, где А - обозначает число 10, В - число 11 (так как знак должен быть один).

Посудите сами. Мы считаем время шестерками, не так ли? Один час - шестьдесят минут (шесть десятков), одни сутки - это двадцать четыре часа (два раза по двенадцать), год - двенадцать месяцев и так далее... Все временные интервалы легко укладываются в шести- и двенадцатеричные ряды. Но мы настолько к этому привыкли, что даже не задумываемся при отсчете времени.

Непозиционные системы счисления. Унарная

Необходимо определиться в том, что это такое - непозиционная система счисления. Это такая знаковая система, в которой нет позиций для знаков числа, или принцип "прочтения" числа от позиции не зависит. В ней также существуют свои правила записи или вычислений.

Приведем примеры непозиционных систем счисления. Вернемся к древности. Люди нуждались в счете и придумали наиболее простое изобретение - узелки. Непозиционной системой счисления является узелковая. Один предмет (мешок риса, бык, и пр.) отсчитывали, например, при покупке или продаже и завязывали узелок на веревочке.

В итоге на веревке получалось столько узелков, сколько мешков риса куплено (как пример). Но также это могли быть насечки на деревянной палочке, на каменной плите и т.д. Такая система счисления стала называться узелковой. У нее существует второе название - унарная, или единичная ("уно" на латыни означает "один").

Становится очевидным, что данная система счисления - непозиционная. Ведь о каких позициях может идти речь, когда она (позиция) всего одна! Как ни странно, в некоторых уголках Земли до сих пор в ходу унарная непозиционная система счисления.

Также к непозиционным системам счисления относят:

римскую (для написания чисел используются буквы - латинские символы);
древнеегипетскую (похожа на римскую, также использовались символы);
алфавитную (использовались буквы алфавита);
вавилонскую (клинопись - использовали прямой и превернутый "клин");
греческую (также относят к алфавитной).

Римская система счисления

Древняя римская империя, а также ее наука, была очень прогрессивной. Римляне дали миру множество полезных изобретений науки и искусства, в том числе свою систему счета. Две сотни лет назад римские числа использовали для обозначения сумм в деловых документах (таким образом избегали подделки).

Пример непозиционной системы счисления, она известна нам сейчас. Также римская система активно используется, но не для математических расчетов, а для узко направленных действий. Например, с помощью римских чисел принято обозначать исторические даты, века, номера томов, разделов и глав в книжных изданиях. Часто используют римские знаки для оформления циферблатов часов. А также римская нумерация является примером непозиционной системы счисления.

Римляне обозначали цифры буквами латиницы. Причем числа они записывали по определенным правилам. Существует перечень ключевых символов в римской системе счисления, с помощью них записывались все числа без исключения.

Правила составления чисел

Требуемое число получалось путем сложения знаков (букв латиницы) и вычисления их суммы. Рассмотрим, как символически записываются знаки в римской системе и как нужно их "считывать". Перечислим основные законы формирования чисел в римской непозиционной системе счисления.

Число четыре - IV, состоит из двух знаков (I, V - один и пять). Оно получается путем вычитания меньшего знака из большего, если он стоит левее. Когда меньший знак расположен справа, необходимо складывать, тогда получится число шесть - VI.
Необходимо складывать два одинаковых знака, стоящих рядом. Например: СС - это 200 (С - 100), или ХХ - 20.
Если первый знак числа меньше второго, то третьим в этом ряду может быть символ, значение которого еще меньше первого. Чтобы не запутаться, приведем пример: CDX - 410 (в десятичной).
Некоторые крупные числа могут быть представлены разными способами, что является одним из минусов римской системы счета. Приведем примеры: MVM (римская система) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (десятичная система) или MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. И это еще не все способы.

Приемы арифметики

Непозиционная система счисления - это иногда сложный набор правил формирования чисел, их обработки (действий над ними). Арифметические операции в непозиционных системах счисления - дело непростое для современных людей. Не завидуем древнеримским математикам!

Пример сложения. Попробуем сложить два числа: XIX + XXVI = XXXV, это задание выполняется в два действия:

Первое - берем и складываем меньшие доли чисел: IX + VI = XV (I после V и I перед X "уничтожают" друг друга).
Второе - складываем большие доли двух чисел: X + XX = XXX.

Вычитание выполняется несколько сложнее. Уменьшаемое число требуется разбить на составные элементы, а после этого в уменьшаемом и вычитаемом сократить дублируемые символы. Из числа 500 вычтем 263:

D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Умножение римских чисел. Кстати, необходимо упомянуть, что у римлян не имелось знаков арифметичеких операций, они просто словами обозначали их.

Множимое число умножать нужно было на каждый отдельный символ множителя, получалось несколько произведений, которые необходимо было сложить. Таким способом производят умножение многочленов.

Что касается деления, то этот процесс в римской системе счисления был и остается наиболее сложным. Тут применялись древние римские счеты - абак. Чтобы работать с ним людей специально обучали (и не всякому человеку удавалось такую науку освоить).

О недостатках непозиционных систем

Как было сказано выше, в непозиционных системах счисления существуют свои недостатки, неудобства в использовании. Унарная достаточна проста для простого счета, но для арифметики и сложных вычислений она не годится вовсе.

В римской отсутствуют единые правила формирования больших чисел и возникает путаница, а также в ней очень сложно производить вычисления. Кроме того, самым которое могли записать древние римляне с помощью своего метода, было 100000.

Системой счисления называется метод записи чисел в виде комбинаций графических символов. Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества, а цифры – знаки, используемые для записи чисел. В наше время самыми распространёнными являются арабские цифры, менее распространены римские цифры. Система римских цифр основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов: I=1, X=10, C=100, M=1000 и их половин: V=5, L=50, D=500. Существует множество других способов записи чисел. Например, древние греки использовали для этой цели буквы своего алфавита, а древние шумеры – клинописные знаки. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

Позиционная система счисления – система записи чисел в виде последовательности символов, в которой численное значение каждого символа зависит от его положения в записи .

Примером позиционной системы является хорошо известная десятичная система счисления. Примером непозиционной системы – римская система. Выполнение арифметических действий над числами в непозиционной системе весьма неудобно. Поэтому позиционные системы в настоящее время получили наибольшее распространение.

Изобретение позиционной системы приписывается шумерам и вавилонянам. Затем она была развита индусами. В средневековой Европе позиционная десятичная система появилась благодаря итальянским купцам, которые заимствовали её у мусульман. В 9 веке великий арабский математик Мухаммед ибн Мусе Аль Хорезми впервые описал десятичную систему исчисления и правила выполнения простых арифметических действий в ней. В 12 веке его работы были переведены на латинский язык, благодаря чему Европа смогла познакомиться с этим изобретением человеческого ума.

Десятичная система

Существуют различные позиционные системы исчисления, отличающиеся между собой количеством используемых знаков. Чтобы различать числа в разных системах исчисления, в конце числа ставят индекс – символ системы. Например, запись означает обычное число 483,56 в десятичной системе счисления, а запись
означает совсем другое число (хотя и похожее по виду) вшестнадцатеричной системе счисления (в десятичной оно равно 1155,335938). Если из контекста понятно, что используется только десятичная система (или только шестнадцатеричная, или какая-нибудь другая), то при записи числа индекс обычно опускают.

Десятичная система использует десять различных знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – которые обозначают натуральные числа в порядке их возрастания от нуля до девяти. Число 10 является основанием десятичной системы. Оно не имеет специального знака, а обозначается с помощью двух первых символов этой системы.

Например, запись 483,56 в десятичной системе означает, что данное число складывается из четырех сотен (
), восьми десяток (
), трех единиц (
), пяти десятых частей единицы (
) и шести сотых частей единицы (
). Другими словами, мы можем записать:

Двоичная система

Двоичная (бинарная) система счисления является самой простой из всех позиционных систем. Она содержит только два символа 0 и 1, и используется в компьютерной технике благодаря своей простоте и высокой надежности. Двоичная система была изобретена великим немецким ученым Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716), который использовал ее в созданной им механической счетной машине. В первом столбце табл. 2.1 приведены десятичные числа, а во втором – соответствующие им двоичные числа.

Таблица 2.1

Предположим, что нам нужно преобразовать двоичное число с дробной частью 1100,1011 в более привычное десятичное число. В табл. 2.2 показано, как осуществляется такое преобразование.

Таблица 2.2

Двоичное число								Десятичное число
Целая часть				Дробная часть

	+	+	+	+	+	+	+	=

Обратное преобразование десятичного числа d в двоичное число (бинарный код) осуществляется в соответствии со следующим алгоритмом. Присваиваем числу d индекс
(
), и ищем целое число, удовлетворяющее неравенству

,
. (2.2)

Если
, то задача выполнена – искомое двоичное число содержит единицу в старшем разряде инулей за ней.

Если
, то вычисляем разность
, и ищем для нее соответствующее число, пользуясь формулой (2.2) с
. Операцию вычисления разницы
и нахождения
повторяем до тех пор, пока при каком-либо
не выполнится условие:
.

Очевидно, что
(т.е.
). При построении искомого бинарного числа используют правило: численные значениясоответствуют разрядам бинарного кода, в котором стоят единицы. Остальные разряды заполняются нулями.

Используем это правило для нахождения бинарного кода десятичного числа 108,5. Согласно формуле (2.2), получаем: .

Искомое двоичное число равно: 1101100,1. Первая единица слева в записи числа соответствует 6 разряду, вторая за ней – пятому разряду. Четвертого разряда нет, поэтому за двумя первыми единицами записываем ноль. Третий и второй разряды есть – после нуля записываем две единицы. Единичного и нулевого разрядов также нет – после двух единиц записываем два нуля. Минус первый разряд есть – поэтому после запятой записываем единицу.

Арифметические операции в двоичной системе осуществляются так же, как и в десятичной («столбиком»). Например, возьмем числа 0111 (
) и 0101 (
), и произведем операции сложения и умножения:

В результате получим 1100 (
) и 100011 (
), что и следовало ожидать.

Код Грея

Помимо двоичных чисел на практике применяются и другие коды, использующие два знака: 0 и 1. В этом разделе мы познакомимся с кодом Грея. При сортировке данных естественным представлением является обычное целочисленное описание, поскольку среди десяти цифр каждая на 1 больше предыдущей. При переходе к двоичному описанию эта естественность исчезает. Рассмотрим битовое представление чисел 6, 7, 8 и 9:

0110 0111 1000 1001.

Числа 6 и 7, а также 8 и 9 отличаются друг от друга на один бит. Однако числа 7 и 8 не имеют между собой ничего общего! Это свойство представления может вызвать большие проблемы при решении задач, требующих систематизации числовых данных. Для решения проблемы неоднородности представления используется код Грея.

Код Грея – система нумерации, в которой два соседних значения различаются только в одном разряде .

Код Грея показан в третьем столбце табл. 2.1. Наиболее часто на практике применяется рефлексивный двоичный код Грея , хотя в общем случае существует бесконечное множество кодов Грея для систем счисления с любым основанием. В большинстве случаев, под термином «код Грея» понимают именно рефлексивный бинарный код Грея. Название рефлексный (отражённый) двоичный код происходит от факта, что вторая половина значений в коде Грея эквивалентна первой половине, только в обратном порядке, за исключением старшего бита, который просто инвертируется. Если же разделить каждую половину ещё раз пополам, свойство будет сохраняться для каждой из половин половины и т.д.

Код Грея был разработан Фрэнком Греем, исследователем Bell Labs. Он использовал этот код в своей импульсной системе связи (на него был получен патент № 2632058).

При преобразовании бинарного кода в десятичное число мы умножаем ноль или единицу на , где
– номер позиции бита в бинарном коде (; и т.д.), а затем суммируем полученные результаты.

При преобразовании кода Грея в десятичное число мы умножаем ноль или единицу на (
), где
– номер позиции бита в коде Грея (; и т.д.). Дальше вычитаем из результата, соответствующего старшей единице, результат, соответствующий единице меньшего разряда, прибавляем результат, соответствующий единице еще более меньшего разряда и т.д. (смотри последний столбец табл. 2.1).

Троичная система счисления

Троичная система счисления – позиционная система счисления с целочисленным основанием равным 3. Она существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная троичные системы. Несимметричная система обычно использует символы: 0, 1 и 2. Симметричная: –1, 0, +1. В табл. 2.3 показаны десятичные числа и соответствующие им числа в троичной системе счисления.

Таблица 2.3

Десятичная

Троичная

несимметричная

Троичная

симметричная

Элементы троичной системы существовали еще у древних шумеров. Полноценную симметричную троичную систему впервые предложил итальянский математик Фибоначчи (Леонардо Пизанский ) (1170–1250). Симметричная троичная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса.

В момент зарождения компьютерной техники троичная система составляла серьезную конкуренцию двоичной системе. Ее преимущество заключается в том, что она обеспечивает наибольшую плотность записи чисел по сравнению с другими целочисленными системами. Поясним это на следующем примере.

Предположим, что в компьютере мы используем числа в позиционной системе с целочисленным основанием . При этом каждое число имеет максимумразрядов. Значит, для сохранения числа в памяти компьютера требуетсяячеек памяти, причем каждая ячейка должна быть способна находиться всостояниях. Аппаратные затраты составляют:
.

Используя систему с основанием иразрядов, мы способны представитьразличных чисел. Эффективность применяемой в компьютере системы счисления можно оценить с помощью следующего числового критерия:

. (2.3)

Чем больше чисел мы можем представить в данной системе счисления, и чем меньше при этом аппаратные затраты, тем эффективнее система по данному критерию.

Чаще критерий эффективности используют в такой форме

. (2.4)

Практически критерий (2.4) равнозначен критерию (2.3), однако удобнее в использовании. Равнозначность основана на факте: если
, то
. График функции
показан на рис. 2.1.

Рис.2.1. График функции

Эта функция имеет максимум для . При целых значенияхмаксимум достигается для= 3.

;

Таким образом, наиболее эффективной по критерию (2.4) является троичная система счисления (используемая в троичных компьютерах), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых компьютеров) и четверичная система счисления.

В 1958 году Николай Петрович Брусенцов из МГУ построил первую серийную электронную троичную ЭВМ «Сетунь» на ячейках из ферритдиодных магнитных усилителей переменного тока, работавших в двухбитном троичном коде, четвёртое состояние двух битов не использовалось. В 1970 году Брусенцов построил вторую серийную электронную троичную ЭВМ «Сетунь-70».

В 1973 году в США впервые был создан экспериментальный троичный компьютер, а в 2008 году там же была построена троичная цифровая компьютерная система TCA2 на 1484-х интегральных транзисторах.

Тем не менее, в настоящее время двоичные компьютеры доминируют в компьютерной технике благодаря своей простоте и высокой надежности.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Позиционную систему счисления можно построить по любому основанию. Однако наибольшее практическое значение имеют: двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Причем, последние две используются, в основном, не для вычислений, а для представления двоичного кода в форме, удобной для человека.

В табл. 2.4 представлено 24-битное двоичное слово и соответствующие ему 8-ричный и 16-ричный коды.

Таблица 2.4

Двоичный код	1011001111000101100010112
Восьмеричный код
Шестнадцатеричный код

Очевидно, что человеку легче воспринимать двоичный код в форме 8-ричного или 16-ричного кодов. При использовании 8-ричного кода три бита двоичного слова преобразуются в один символ. При использовании 16-ричного слова каждые четыре бита двоичного слова преобразуются в один символ. В табл. 2.5 показано, как осуществляется это преобразование. Как можно видеть, шестнадцатеричные числа обозначаются с помощью 10 арабских цифр и шести букв латинского алфавита.